제1장 단순회귀모형 - 단손회귀의 추정과 검정

단순 회귀 직선의 기본 가정 중 하나는 주어진 X와 Y의 기대값을 E(Y)라고 하면,

E(Y)= β₀ + β₁X

가 성립되는 것이다. 이러한 의미는 관심이 되고 있는 모집단에서 변수 X와 Y사이에 선형관계가 성립된다고 하는 것이다.

 

1. β_0, β₁의 신뢰구간

> summary(market.lm)

 

Call:

lm(formula = Y ~ X, data = market)

 

Residuals:

   Min     1Q Median     3Q    Max

-3.600 -1.502  0.813  1.128  4.617

 

Coefficients:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   

(Intercept)    -2.2696     3.2123  -0.707 0.499926   

X                  2.6087     0.3878   6.726 0.000149 ***

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 2.631 on 8 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.8497,    Adjusted R-squared:  0.831

F-statistic: 45.24 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.0001487

 

# β₀ 의 95%신뢰구간

> q.val=qt(0.975,8)

> -2.2696-3.2123*q.val;-2.2696+3.2123*q.val

[1] -9.677177

[1] 5.137977

 

# β1의 95%신뢰구간

q.val=qt(0.975,8)

 2.6084-q.val*0.3878 ; 2.6084+q.val*0.3878

[1] 1.714132

[1] 3.502668 

 

2. 추정값의 신뢰 구간을 그려보자

> range(market$X)

[1]  4 12

> pred.frame=data.frame(X=seq(3.5,13.5,0.2))

> pc=predict(market.lm,int='c',newdata=pred.frame) #기대값의 신뢰구간

> pp=predict(market.lm,int='p',newdata=pred.frame) # 새로운 값의 신뢰구간

> head(pc,3);head(pp,3)

       fit      lwr      upr

1 6.860870 2.402421 11.31932

2 7.382609 3.084944 11.68027

3 7.904348 3.765982 12.04271

       fit         lwr      upr

1 6.860870 -0.66731914 14.38906

2 7.382609 -0.05148732 14.81670

3 7.904348  0.56119219 15.24750

> pred.X=pred.frame$X

> plot(market$X, market$Y,ylim=range(market$Y,pp))

> matlines(pred.X,pc,lty=c(1,2,2),col='BLUE')

> matlines(pred.X,pp,lty=c(1,3,3),col='RED')

-> 안쪽 파란색 점섬은 pc의 신뢰구간, 바깥쪽 빨간색 점선은 pp의 신뢰구간. Pp의 신뢰대가 pc의 신뢰대보다 더 넓은 영역을 차지하는 것을 알 수 있다.

> identify(market$X,market$Y)

> market[c(1,2,6),]

  NUMBER  X  Y

1      1  4  9

2      2  8 20

6      6 12 30

> market[c(4,7,9),]

  NUMBER X  Y

4      4 8 15

7      7 6 18

9      9 6 10

-> 1,2,6번 데이터는 pc 신뢰구간 내 있는 데이터, 4,7,9번은 pc 신뢰구간 바깥에 있는 데이터

 

3. β1의 검정

귀무가설 H₀ : β₁ = 0

대립가설 H1 : β₁ ≠ 0

 

위 가설에 대한 검정통계량은, 양측검정이므로 t(n-2; α/2)인 기각값을 구한 후, 만약 |t₀| > t(n-2; α/2)이면 귀무가설을 기각하게 된다.

> summary(market.lm)

 

Call:

lm(formula = Y ~ X, data = market)

 

Residuals:

   Min     1Q Median     3Q    Max

-3.600 -1.502  0.813  1.128  4.617

 

Coefficients:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   

(Intercept)    -2.2696     3.2123  -0.707 0.499926   

X                  2.6087     0.3878   6.726 0.000149 ***

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 2.631 on 8 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.8497,    Adjusted R-squared:  0.831

F-statistic: 45.24 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.0001487

 

이 결과에서 기울기 β1의 추정값 b1 = 2.6087이고, t-값

t₀= 2.6087 / 0.3878 = 6.726921

 

임을 알 수 있다. P – 값은 다음과 같이 구해진다.

p-값 = Pr(T > |6.726|) = 2 X (1-Pr (T<6.726)) 이므로

> 2*(1-pt(6.726921,8))

[1] 0.0001485319

-> 결론: p-값 = 0.0001485319로서 매우 작으므로 귀무가설 H₀ : β₁ = 0을 기각하게 된다.

4. 추정값의 신뢰구간

Ŷ의 분산은 X의 함수로서 X=X bar일 경우 최소. X=X bar를 대칭으로 X의 값이 X bar에서 멀어질수록 커짐. 또한 n이 커져도 Var(Ŷ)이 작아짐을 알 수 있음.

문제: 광고비를 투입할수록 매출액이 커진다고 한다. 이 자료를 바탕올 회귀식을 구했더니 매출액(Ŷ) = -2.2696 + 2.6087 * 광고비가 나왔고, 이 회귀식을 이용하여 광고비 7을 투입할 경우 매출액 15.993을 구하였다. 이 때 매출액 15.993에 대하여 95%의 신뢰구간을 설정하시오.

X	x-xbar	(x-xbar)^2	Y	Ŷ = -2.2696 + 2.6087x	y-Ŷ	(y-Ŷ)^2
4	-4	16	9	8.166	0.834	0.695556
8	0	0	20	18.602	1.398	1.954404
9	1	1	22	21.211	0.789	0.622521
8	0	0	15	18.602	-3.602	12.9744
8	0	0	17	18.602	-1.602	2.566404
12	4	16	30	29.038	0.962	0.925444
6	-2	4	18	13.384	4.616	21.30746
10	2	4	25	23.82	1.18	1.3924
6	-2	4	10	13.384	-3.384	11.45146
9	1	1	20	21.211	-1.211	1.466521
	합계	46			합계	55.357
평균x	8
평균y	18.6

 

t(n-2 ; α/2) 은 신뢰수준이 95%이므로 α/2 = 0.025이고, 자유도는 10-2 = 8이다. 해당 값을 t분포표 값에서 찾으면 2.306이다. 이를 R에서 계산하면 아래와 같다.

> anova(market.lm)

Analysis of Variance Table

 

Response: Y

          Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)   

X             1 313.043  313.04   45.24 0.0001487 ***

Residuals  8  55.357    6.92                     

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> qt(0.975,8)

[1] 2.306004

-> MSE = 6.92, t(10-2 ; 5%/2) = 2.306

= 15.993 ± 2.306 x SQRT ( MSE x (1 + 1/(10-2) + (7-8)^2 / 46))

= 15.993 ± 2.306 x SQRT ( 55.357/8 x (1 + 1/(10-2) + (7-8)^2 / 46))

= 15.993 ± 6.49

 

따라서 매출액 15.993에 대하여 95%의 신뢰구간은 9.503에서 22.483로 예측할 수 있다.