제4장 범주형 자료의 분석 - 4.3 로짓분석

로짓분석이란?

 생존여부나 교통사고 발성 여부와 같이 반응변수(Y)는 범주형(명목형(남자 1, 여자2), 순서형(초졸1, 중졸2, 고졸3, 대졸4))이고 이에 대한 설명변수(X)는 범주형과 이산형(방의 개수: 2개)dl 혼합된 경우 관련성 여부를 규명하기 위해서는 모형으로 로짓logit 모형을 적용할 수 있다.

 

•  오즈: 기본이 되는 변수로 오즈odds를 들 수 있는데 이것은 두 확률의 비를 의미하는 것이다. 

odds=p/(1-p) 

•   로짓: 흡연 산모가 미숙아를 출산할 확률이 비흡연 산모를 1로 했을 때 2.5배라고 발표하는 것이 그 예이다. 로짓은 오즈에 자연로그를 취한 형태를 의미한다. 

logit=ln(p/1-p) 

• 로짓 모형: 범주형 자료 분석에서 실험자들의 설명변수(X)에 대한 통제가 가능한 경우 반응변수(Y)에 대한 로짓모형을 적용할 수 있다.

logit=ln(p/1-p) = β₀ + β₁x

 

예) B.J.T Morgan은 폴란드 바르샤바의 3918명 여성들을 대상으로 초사한 초경자료를 가지고 범주형 자료의 회귀분석(을 소개하였다). 연령과 월경 사이에 어떠한 관계가 있는지 알아보자.

 

> 초경연령자료 = read.table('c:/Rwork/바르샤바초경연령자료.csv',sep=',',header=T)

> head(초경연령자료)

  평균연령 초경경험자 군의총수

1     9.21          0      376

2    10.21          0      200

3    10.58          0       93

4    10.83          2      120

5    11.08          2       90

6    11.33          5       88

> attach(초경연령자료)

> 확률 = 초경경험자/군의총수

> plot(평균연령,확률)

 

#로짓분석

> logit <- glm(확률~평균연령,data=초경연령자료,family='binomial')

> logit

Call:  glm(formula = 확률 ~ 평균연령, family = "binomial", data = 초경연령자료)

 

Coefficients:

(Intercept)     평균연령 

    -20.907        1.608 

 

Degrees of Freedom: 23 Total (i.e. Null);  22 Residual

Null Deviance:      19.06

Residual Deviance: 0.2214       AIC: 11.38

> summary(logit)

Call:

glm(formula = 확률 ~ 평균연령, family = "binomial", data = 초경연령자료)

 

Deviance Residuals:

     Min        1Q    Median        3Q       Max 

-0.20043  -0.08458  -0.05277   0.06104   0.13296 

 

Coefficients:

            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) 

(Intercept) -20.9067     8.1314  -2.571   0.0101 *

평균연령      1.6077     0.6244   2.575   0.0100 *

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

 

    Null deviance: 19.06046  on 23  degrees of freedom

Residual deviance:  0.22137  on 22  degrees of freedom

AIC: 11.383

 

Number of Fisher Scoring iterations: 6

결과: 로짓모형을 추정하면 아래와 같다. 즉, X가 1단위 증가할 때 변화하는 로그 오즈(odds)의 비율은 1.6077이다.

logit(p) = -20.9067 + 1.6077 X 

 

 

> exp(coef(logit))

 (Intercept)     평균연령

8.323842e-10 4.991105e+00

결과해석: 나이가 한 살 증가할 때 초경 경험자의 오즈 odds는 4.991 (exp(1.6077))배 더 많다고 할 수 있다.

 

그룹의 50%가 초경을 하는 연령을 구하기 위해 p=0.5일 때의 연령 X를 구하면 

logit(0.5)    =	log(	0.5	)   =	log1 = 0
		1-0.5

이고 이것이 바로 유효 중앙값 ED₅₀(Effective Dose of 50%)이 되어 50%가 초경을 경험한 소녀들의 나이가 된다. 이를 계산하면 아래 수식을 통해 x=13, 즉 약 13세임을 알 수 있다.

 

0 = -20.9067 + 1.6077 X

 

이식은 양의 용량이 늘어날수록 반응률이 높아지는 반응곡선, 즉 용량-반응곡선(dose response curve)에도 응용된다. 예를 들면 100명의 고열 환자에게 해열제를 투여했을 때 환자 50%의 열이 떨어지는 효과를 보여주는 약의 용량인 ED₅₀을 구하는데 적용할 수 있다.

 

 

예) M.J.R Healy는 비타민 E의 용량에 따른 임신한 쥐의 숫자를 아래와 같이 발표하였다. 투입된 비타민 E의 용량과 임신에 대한 관계를 알아보자.

 

용량(mg)	수	임신
3.75	5	0
5	10	2
6.25	10	4
7.5	10	8
10	11	10
15	11	11

 

> 용량 = c(3.75,5,6.25,7.5,10,15)

> 수= c(5,10,10,10,11,11)

> 임신 = c(0,2,4,8,10,11)

> 쥐임신<-cbind(용량,수,임신)

> 쥐임신

      용량 수 임신

[1,]  3.75  5    0

[2,]  5.00 10    2

[3,]  6.25 10    4

[4,]  7.50 10    8

[5,] 10.00 11   10

[6,] 15.00 11   11

> 확률2 = 쥐임신[,3] / 쥐임신[,2]

> 확률2

[1] 0.0000000 0.2000000 0.4000000 0.8000000 0.9090909 1.0000000

#로짓분석

> logit2 <- glm(확률2~log10(쥐임신[,1]),family='binomial')

> logit2

Call:  glm(formula = 확률2 ~ log10(쥐임신[, 1]), family = "binomial")

 

Coefficients:

       (Intercept)  log10(쥐임신[, 1]) 

            -12.42               15.35 

 

Degrees of Freedom: 5 Total (i.e. Null);  4 Residual

Null Deviance:      4.297

Residual Deviance: 0.136        AIC: 6.315

> summary(logit2)

Call:

glm(formula = 확률2 ~ log10(쥐임신[, 1]), family = "binomial")

 

Deviance Residuals:

       1         2         3         4         5         6 

-0.23099   0.11888  -0.09852   0.15618  -0.16518   0.08464 

 

Coefficients:

                   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

(Intercept)          -12.42      10.39  -1.195    0.232

log10(쥐임신[, 1])    15.35      12.76   1.203    0.229

 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

 

    Null deviance: 4.29706  on 5  degrees of freedom

Residual deviance: 0.13603  on 4  degrees of freedom

AIC: 6.3152

 

Number of Fisher Scoring iterations: 6

결과: glm(formula = 확률2 ~ log10(쥐임신[, 1]), family = "binomial")를 보면 모형을 적합하는데 용량(X) 대신 log ₁₀(X)를 사용하였다. 위의 결과를 통해 다음 추정식을 회귀할 수 있다. 

ln(	px	)  =	-12.42 + 15.35 log10x
	1 - px

따라서 비타민 E 용량이 10배 증가함에 따라 변화하는 임신 로그 오즈의 비율은15.35임을 알 수 있다.

 

> exp(coef(logit2))

       (Intercept) log10(쥐임신[, 1])

      4.033060e-06       4.631322e+06

비타민 용량 E가 10배 증가할 때 임신의 오즈는 4.631(=exp(15.35))배 더 많다고 할 수 있다. 

 

전체 그룹 중 50%가 임신하는 비타민 용량 E는 아래와 같이 구할 수 있다.

logit(0.5) =	log(	0.5	)  =	log1 = 0
		1-0.5

 

수식을 이용하면 ED₅₀(Effective Dose of 50%)은 0 = -12.42 + 15.35 log₁₀x이므로 ED₅₀(Effective Dose of 50%)의 추정량은 6.44mg이 된다.

> 10^(12.42/15.35)

[1] 6.443481

 

출처: 보건정보데이터분석(이태림, 이재원, 김주한, 장대흥 공저)