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  1. 2016.09.14 제2장 회귀모형 - 선형회귀 연습
  2. 2016.09.14 제2장 회귀모형 - 선형회귀, 로지스틱회귀

제2장 회귀모형 - 선형회귀 연습

KNOU/2 데이터마이닝 2016. 9. 14. 10:10
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목표변수가 연속형인 경우 -> 선형 회귀모델, ex) 광고비 투입 대비 매출액

목표변수가 두 개의 범주를 가진 이항형인 경우 -> 로지스틱 회귀모형, ex) 좋다1, 나쁘다0



보스턴 하우징 데이터 Housing Values in Suburbs of Boston

(출처: http://127.0.0.1:31866/library/MASS/html/Boston.html)


변수명

속성

변수 설명

crim

수치형(numeric)

per capita crime rate by town
타운별 1인당 범죄율

zn

수치형(numeric)

proportion of residential land zoned for lots over 25,000 sq.ft.
25,000평방피트를 초과하는 거주지역 비율

indus

수치형(numeric)

proportion of non-retail business acres per town.
비소매 사업지역의 토지 비율

chas

범주형(integer)

Charles River dummy variable (= 1 if tract bounds river; 0 otherwise).
찰스강 더비 변수 (강의 경계에 위치 = 1, 아니면 = 0)

nox

수치형(numeric)

nitrogen oxides concentration (parts per 10 million).
10ppm당 농축 일산화질소

rm

수치형(numeric)

average number of rooms per dwelling.
주택 1가구등 방의 평균 개수

age

수치형(numeric)

proportion of owner-occupied units built prior to 1940.
1940년 이전에 건축된 소유자 주택 비율

dis

수치형(numeric)

weighted mean of distances to five Boston employment centres.
5개의 보스턴 고용센터까지의 접근성 지수

rad

범주형(integer)

index of accessibility to radial highways.
방사형 도로까지의 접근성 지수

tax

수치형(numeric)

full-value property-tax rate per \$10,000.
10,000달러당 재산세율

ptratio

수치형(numeric)

pupil-teacher ratio by town.
타운별 학생/교사 비율

black

수치형(numeric)

1000(Bk - 0.63)^2 where Bk is the proportion of blacks by town.
타운별 흑인의 비율

lstat

수치형(numeric)

lower status of the population (percent).
모집단의 하위계층의 비율

medv
(목표변수)

수치형(numeric)

median value of owner-occupied homes in \$1000s.
본인 소유의 주택가격(중앙값)

 

 

 

 

1. 데이터 불러오기

> library(MASS)

> range(Boston$medv)

[1]  5 50

> stem(Boston$medv)

The decimal point is at the | 

4 | 006

6 | 30022245

8 | 1334455788567

10 | 2224455899035778899

12 | 013567778011112333444455668888899

14 | 0111233445556689990001222344666667

16 | 01112234556677880111222344455567888889

18 | 01222334445555667778899990011112233333444444555566666778889999

20 | 0000011111223333444455566666677888990001122222444445566777777788999

22 | 00000001222223344555666667788889999000011111112222333344566777788889

24 | 001112333444455566777888800000000123

26 | 24456667011555599

28 | 01244567770011466889

30 | 111357801255667

32 | 0024579011223448

34 | 679991244

36 | 01224502369

38 | 78

40 | 37

42 | 38158

44 | 084

46 | 07

48 | 358

50 | 0000000000000000

 

> i=which(Boston$medv==50)#본인 소유의 주택가격(중앙값)

> Boston[i,]

        crim zn indus chas    nox    rm   age    dis rad tax ptratio  black lstat medv

162 1.46336  0 19.58    0 0.6050 7.489  90.8 1.9709   5 403    14.7 374.43  1.73   50

163 1.83377  0 19.58    1 0.6050 7.802  98.2 2.0407   5 403    14.7 389.61  1.92   50

164 1.51902  0 19.58    1 0.6050 8.375  93.9 2.1620   5 403    14.7 388.45  3.32   50

167 2.01019  0 19.58    0 0.6050 7.929  96.2 2.0459   5 403    14.7 369.30  3.70   50

187 0.05602  0  2.46    0 0.4880 7.831  53.6 3.1992   3 193    17.8 392.63  4.45   50

196 0.01381 80  0.46    0 0.4220 7.875  32.0 5.6484   4 255    14.4 394.23  2.97   50

205 0.02009 95  2.68    0 0.4161 8.034  31.9 5.1180   4 224    14.7 390.55  2.88   50

226 0.52693  0  6.20    0 0.5040 8.725  83.0 2.8944   8 307    17.4 382.00  4.63   50

258 0.61154 20  3.97    0 0.6470 8.704  86.9 1.8010   5 264    13.0 389.70  5.12   50

268 0.57834 20  3.97    0 0.5750 8.297  67.0 2.4216   5 264    13.0 384.54  7.44   50

284 0.01501 90  1.21    1 0.4010 7.923  24.8 5.8850   1 198    13.6 395.52  3.16   50

369 4.89822  0 18.10    0 0.6310 4.970 100.0 1.3325  24 666    20.2 375.52  3.26   50

370 5.66998  0 18.10    1 0.6310 6.683  96.8 1.3567  24 666    20.2 375.33  3.73   50

371 6.53876  0 18.10    1 0.6310 7.016  97.5 1.2024  24 666    20.2 392.05  2.96   50

372 9.23230  0 18.10    0 0.6310 6.216 100.0 1.1691  24 666    20.2 366.15  9.53   50

373 8.26725  0 18.10    1 0.6680 5.875  89.6 1.1296  24 666    20.2 347.88  8.88   50

 

> boston=Boston[-i,] #최대값 50인 관측치 16개를 찾아 제거

> boston$chas = factor(boston$chas) #범주형으로 변경

> boston$rad = factor(boston$rad) #범주형으로 변경

> table(boston$rad)

1   2   3   4   5   6   7   8  24

19  24  37 108 109  26  17  23 127

 

> boston$chas <- as.factor(boston$chas)

> boston$rad <- as.factor(boston$rad)

> class(boston$rad);class(boston$chas)
[1] "factor"
[1] "factor"

 

[참고] 아래와 같은 방법으로 이용하면 모든 변수를 수치로 변경할 수 있다.

> for(i in 1:ncol(boston))if(!is.numeric(boston[,i])) boston[,i]=as.numeric(boston[,i])
> str(boston)
'data.frame':   490 obs. of  14 variables:
 $ crim   : num  0.00632 0.02731 0.02729 0.03237 0.06905 ...
 $ zn     : num  18 0 0 0 0 0 12.5 12.5 12.5 12.5 ...
 $ indus  : num  2.31 7.07 7.07 2.18 2.18 2.18 7.87 7.87 7.87 7.87 ...
 $ chas   : num  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
 $ nox    : num  0.538 0.469 0.469 0.458 0.458 0.458 0.524 0.524 0.524 0.524 ...
 $ rm     : num  6.58 6.42 7.18 7 7.15 ...
 $ age    : num  65.2 78.9 61.1 45.8 54.2 58.7 66.6 96.1 100 85.9 ...
 $ dis    : num  4.09 4.97 4.97 6.06 6.06 ...
 $ rad    : num  1 2 2 3 3 3 5 5 5 5 ...
 $ tax    : num  296 242 242 222 222 222 311 311 311 311 ...
 $ ptratio: num  15.3 17.8 17.8 18.7 18.7 18.7 15.2 15.2 15.2 15.2 ...
 $ black  : num  397 397 393 395 397 ...
 $ lstat  : num  4.98 9.14 4.03 2.94 5.33 ...
 $ medv   : num  24 21.6 34.7 33.4 36.2 28.7 22.9 27.1 16.5 18.9 ...

 

 

 

 

 

 

2. 선형 회귀 모형 만들기

#선형회귀모형 만들기

> fit1 = lm(medv~.,data=boston) #목표변수 = medv, 선형회귀모형 함수, ~.는 목표 변수를 제외한 모든 변수를 입력변수로 사용

> summary(fit1)

 

  Call:

    lm(formula = medv ~ ., data = boston)

 

  Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

  -9.5220 -2.2592 -0.4275  1.6778 15.2894

 

  Coefficients:

    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   

  (Intercept)  30.120918   4.338656   6.942 1.29e-11 ***

    crim         -0.105648   0.025640  -4.120 4.47e-05 ***

    zn            0.044104   0.011352   3.885 0.000117 ***

    indus        -0.046743   0.051044  -0.916 0.360274   

    chas1         0.158802   0.736742   0.216 0.829435   

    nox         -11.576589   3.084187  -3.754 0.000196 ***

    rm            3.543733   0.356605   9.937  < 2e-16 ***

    age          -0.026082   0.010531  -2.477 0.013613 * 

    dis          -1.282095   0.160452  -7.991 1.05e-14 ***

    rad2          2.548109   1.175012   2.169 0.030616 * 

    rad3          4.605849   1.064492   4.327 1.85e-05 ***

    rad4          2.663393   0.950747   2.801 0.005299 **

    rad5          3.077800   0.962725   3.197 0.001483 **

    rad6          1.314892   1.157689   1.136 0.256624   

    rad7          4.864208   1.241760   3.917 0.000103 ***

    rad8          5.772296   1.194221   4.834 1.82e-06 ***

    rad24         6.195415   1.417826   4.370 1.53e-05 ***

    tax          -0.009396   0.003070  -3.061 0.002333 **

    ptratio      -0.828498   0.114436  -7.240 1.85e-12 ***

    black         0.007875   0.002084   3.779 0.000178 ***

    lstat        -0.354606   0.041901  -8.463 3.36e-16 ***

    ---

    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

  Residual standard error: 3.671 on 469 degrees of freedom

  Multiple R-squared:  0.7911,     Adjusted R-squared:  0.7821

  F-statistic: 88.78 on 20 and 469 DF,  p-value: < 2.2e-16

 

또는 아래와 같은 방법도 가능하다

> names(boston)
 [1] "crim"    "zn"      "indus"   "chas"    "nox"     "rm"      "age"   
 [8] "dis"     "rad"     "tax"     "ptratio" "black"   "lstat"   "medv"  
> bn <- names(boston)

> f <- as.formula(paste('medv~',paste(bn[!bn %in% 'medv'],collapse='+')))
> f
medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + age + dis + rad +
    tax + ptratio + black + lstat
> fit2 <- lm(f,data=boston)
> summary(fit2)

Call:
lm(formula = f, data = boston)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max
-9.5220 -2.2592 -0.4275  1.6778 15.2894 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  30.120918   4.338656   6.942 1.29e-11 ***
crim         -0.105648   0.025640  -4.120 4.47e-05 ***
zn            0.044104   0.011352   3.885 0.000117 ***
indus        -0.046743   0.051044  -0.916 0.360274   
chas2         0.158802   0.736742   0.216 0.829435   
nox         -11.576589   3.084187  -3.754 0.000196 ***
rm            3.543733   0.356605   9.937  < 2e-16 ***
age          -0.026082   0.010531  -2.477 0.013613 * 
dis          -1.282095   0.160452  -7.991 1.05e-14 ***
rad2          2.548109   1.175012   2.169 0.030616 * 
rad3          4.605849   1.064492   4.327 1.85e-05 ***
rad4          2.663393   0.950747   2.801 0.005299 **
rad5          3.077800   0.962725   3.197 0.001483 **
rad6          1.314892   1.157689   1.136 0.256624   
rad7          4.864208   1.241760   3.917 0.000103 ***
rad8          5.772296   1.194221   4.834 1.82e-06 ***
rad9          6.195415   1.417826   4.370 1.53e-05 ***
tax          -0.009396   0.003070  -3.061 0.002333 **
ptratio      -0.828498   0.114436  -7.240 1.85e-12 ***
black         0.007875   0.002084   3.779 0.000178 ***
lstat        -0.354606   0.041901  -8.463 3.36e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 3.671 on 469 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7911,    Adjusted R-squared:  0.7821
F-statistic: 88.78 on 20 and 469 DF,  p-value: < 2.2e-16 

  

 #가장 적절한 모형 선택 위한 변수 선택

> fit.step = step(fit1,direction='both') #both는 단계적 선택법 적용

  Start:  AIC=1295.03

  medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + age + dis + rad +

    tax + ptratio + black + lstat

 

  Df Sum of Sq    RSS    AIC

  - chas     1      0.63 6321.5 1293.1

  - indus    1     11.30 6332.2 1293.9

  <none>                 6320.9 1295.0

  - age      1     82.67 6403.5 1299.4

  - tax      1    126.28 6447.1 1302.7

  - nox      1    189.88 6510.7 1307.5

  - black    1    192.42 6513.3 1307.7

  - zn       1    203.44 6524.3 1308.5

  - crim     1    228.82 6549.7 1310.5

  - rad      8    721.85 7042.7 1332.0

  - ptratio  1    706.41 7027.3 1344.9

  - dis      1    860.51 7181.4 1355.6

  - lstat    1    965.26 7286.1 1362.7

  - rm       1   1330.92 7651.8 1386.7

 

  Step:  AIC=1293.08

  medv ~ crim + zn + indus + nox + rm + age + dis + rad + tax +

    ptratio + black + lstat

 

  Df Sum of Sq    RSS    AIC

  - indus    1     11.00 6332.5 1291.9

  <none>                 6321.5 1293.1

  + chas     1      0.63 6320.9 1295.0

  - age      1     82.48 6404.0 1297.4

  - tax      1    130.45 6451.9 1301.1

  - nox      1    189.27 6510.8 1305.5

  - black    1    193.59 6515.1 1305.9

  - zn       1    203.76 6525.2 1306.6

  - crim     1    230.58 6552.1 1308.6

  - rad      8    738.26 7059.8 1331.2

  - ptratio  1    719.40 7040.9 1343.9

  - dis      1    861.64 7183.1 1353.7

  - lstat    1    965.11 7286.6 1360.7

  - rm       1   1333.37 7654.9 1384.9

 

  Step:  AIC=1291.93

  medv ~ crim + zn + nox + rm + age + dis + rad + tax + ptratio +

    black + lstat

 

  Df Sum of Sq    RSS    AIC

  <none>                 6332.5 1291.9

  + indus    1     11.00 6321.5 1293.1

  + chas     1      0.32 6332.2 1293.9

  - age      1     81.09 6413.6 1296.2

  - tax      1    192.78 6525.3 1304.6

  - black    1    196.55 6529.0 1304.9

  - zn       1    220.63 6553.1 1306.7

  - crim     1    225.50 6558.0 1307.1

  - nox      1    239.09 6571.6 1308.1

  - rad      8    791.09 7123.6 1333.6

  - ptratio  1    732.81 7065.3 1343.6

  - dis      1    857.27 7189.8 1352.1

  - lstat    1    987.73 7320.2 1361.0

  - rm       1   1380.21 7712.7 1386.5

> summary(fit.step) #최종모형, rad는 범주형 변수를 가변수로 변환한 것.#AIC가 가장 작은 변수가 단계적 선택법에 의해 변수들이 정의 됨

  Call:

    lm(formula = medv ~ crim + zn + nox + rm + age + dis + rad +

         tax + ptratio + black + lstat, data = boston)

 

  Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

  -9.5200 -2.2850 -0.4688  1.7535 15.3972

 

  Coefficients:

    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   

  (Intercept)    30.252522   4.329907   6.987 9.64e-12 ***

    crim         -0.104568   0.025533  -4.095 4.96e-05 ***

    zn            0.045510   0.011235   4.051 5.97e-05 ***

    nox         -12.366882   2.932651  -4.217 2.97e-05 ***

    rm            3.583130   0.353644  10.132  < 2e-16 ***

    age          -0.025822   0.010514  -2.456 0.014412 * 

    dis          -1.253903   0.157029  -7.985 1.08e-14 ***

    rad2          2.387130   1.160735   2.057 0.040278 * 

    rad3          4.644091   1.062157   4.372 1.51e-05 ***

    rad4          2.608777   0.944668   2.762 0.005977 **

    rad5          3.116933   0.960550   3.245 0.001258 **

    rad6          1.422890   1.150280   1.237 0.216705   

    rad7          4.868388   1.240114   3.926 9.94e-05 ***

    rad8          5.872144   1.180865   4.973 9.26e-07 ***

    rad24         6.420553   1.393304   4.608 5.24e-06 ***

    tax          -0.010571   0.002792  -3.787 0.000172 ***

    ptratio      -0.837356   0.113420  -7.383 7.08e-13 ***

    black         0.007949   0.002079   3.823 0.000149 ***

    lstat        -0.357576   0.041718  -8.571  < 2e-16 ***

    ---

    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

  Residual standard error: 3.667 on 471 degrees of freedom

  Multiple R-squared:  0.7907,     Adjusted R-squared:  0.7827

F-statistic: 98.83 on 18 and 471 DF,  p-value: < 2.2e-16

-> 결과 해석: 최초 만든 회귀함수 fit1 = lm(medv~.,data=boston)에서, 가장 적절한 모형 선택 위한 변수 선택을 위해 step 함수를 사용한다. fit.step = step(fit1,direction='both') 이 함수에서 both는 단계적 선택법 적용을 의미한다. 결과적으로 lm(formula = medv ~ crim + zn + nox + rm + age + dis + rad + tax + ptratio + black + lstat, data = boston)라는 모형이 만들어졌고, 최초 만든 모형 대비 indus, chas1 변수가 사라졌음을 알 수 있다. 또한 최종 모형에서 범주 rad2,3,4 등은 범주형 범수 중 특정 변수를 의미한다.


    입력변수 crim의 회귀계수 추정치는 음수이므로 crim이 증가함에 따라 목표변수medv는 감소한다. nox 변수의 회귀곗수는 -12인데, nox 변수가 올라갈 때 마다 medv 값은 내려간다. nox 변수는 10ppm당 농축 일산화질소를 뜻한다.

 

      rad변수는 9개 범주로 구성되어 있기 때문에 8개의 가변수가 생성되었다. 각 입력 변수의 t값의 절대값으 커서 대응하는 p-값은 0.05보다 작아서 유의하다고 할 수 있다. 단, rad6는 유의하지 않지만 다른 가변수가 유의하므로 제거되지 않고 여전히 모형에 포함된다. 

     

     R2은 79.07%로 적합한 선형 회귀모형으로 데이터를 설명할 수 있는 부분이 약 80%로 높고, F-검정의 p-value도 2.2e-16로 아주 작은 것도 모형이 적합하다는 것을 지지하다.  

 

 

 

[참고] 단계적선택법(stepwise selection)의 AIC는 1291.93이다. 후진소거법과 전친선택법은??

후진소거법(backward elimination)의 AIC는 1291.93

> fit.step.back = step(fit1,direction='backward')

Start:  AIC=1295.03

medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + age + dis + rad +

    tax + ptratio + black + lstat

 

          Df Sum of Sq    RSS    AIC

- chas     1      0.63 6321.5 1293.1

- indus    1     11.30 6332.2 1293.9

<none>                 6320.9 1295.0

- age      1     82.67 6403.5 1299.4

- tax      1    126.28 6447.1 1302.7

- nox      1    189.88 6510.7 1307.5

- black    1    192.42 6513.3 1307.7

- zn       1    203.44 6524.3 1308.5

- crim     1    228.82 6549.7 1310.5

- rad      8    721.85 7042.7 1332.0

- ptratio  1    706.41 7027.3 1344.9

- dis      1    860.51 7181.4 1355.6

- lstat    1    965.26 7286.1 1362.7

- rm       1   1330.92 7651.8 1386.7

 

Step:  AIC=1293.08

medv ~ crim + zn + indus + nox + rm + age + dis + rad + tax +

    ptratio + black + lstat

 

          Df Sum of Sq    RSS    AIC

- indus    1     11.00 6332.5 1291.9

<none>                 6321.5 1293.1

- age      1     82.48 6404.0 1297.4

- tax      1    130.45 6451.9 1301.1

- nox      1    189.27 6510.8 1305.5

- black    1    193.59 6515.1 1305.9

- zn       1    203.76 6525.2 1306.6

- crim     1    230.58 6552.1 1308.6

- rad      8    738.26 7059.8 1331.2

- ptratio  1    719.40 7040.9 1343.9

- dis      1    861.64 7183.1 1353.7

- lstat    1    965.11 7286.6 1360.7

- rm       1   1333.37 7654.9 1384.9

 

Step:  AIC=1291.93

medv ~ crim + zn + nox + rm + age + dis + rad + tax + ptratio +

    black + lstat

 

          Df Sum of Sq    RSS    AIC

<none>                 6332.5 1291.9

- age      1     81.09 6413.6 1296.2

- tax      1    192.78 6525.3 1304.6

- black    1    196.55 6529.0 1304.9

- zn       1    220.63 6553.1 1306.7

- crim     1    225.50 6558.0 1307.1

- nox      1    239.09 6571.6 1308.1

- rad      8    791.09 7123.6 1333.6

- ptratio  1    732.81 7065.3 1343.6

- dis      1    857.27 7189.8 1352.1

- lstat    1    987.73 7320.2 1361.0

- rm       1   1380.21 7712.7 1386.5

 

> summary(fit.step.back )

 

Call:

lm(formula = medv ~ crim + zn + nox + rm + age + dis + rad +

    tax + ptratio + black + lstat, data = boston)

 

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-9.5200 -2.2850 -0.4688  1.7535 15.3972

 

Coefficients:

              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   

(Intercept)  30.252522   4.329907   6.987 9.64e-12 ***

crim         -0.104568   0.025533  -4.095 4.96e-05 ***

zn            0.045510   0.011235   4.051 5.97e-05 ***

nox         -12.366882   2.932651  -4.217 2.97e-05 ***

rm            3.583130   0.353644  10.132  < 2e-16 ***

age          -0.025822   0.010514  -2.456 0.014412 * 

dis          -1.253903   0.157029  -7.985 1.08e-14 ***

rad2          2.387130   1.160735   2.057 0.040278 * 

rad3          4.644091   1.062157   4.372 1.51e-05 ***

rad4          2.608777   0.944668   2.762 0.005977 **

rad5          3.116933   0.960550   3.245 0.001258 **

rad6          1.422890   1.150280   1.237 0.216705   

rad7          4.868388   1.240114   3.926 9.94e-05 ***

rad8          5.872144   1.180865   4.973 9.26e-07 ***

rad9          6.420553   1.393304   4.608 5.24e-06 ***

tax          -0.010571   0.002792  -3.787 0.000172 ***

ptratio      -0.837356   0.113420  -7.383 7.08e-13 ***

black         0.007949   0.002079   3.823 0.000149 ***

lstat        -0.357576   0.041718  -8.571  < 2e-16 ***

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 3.667 on 471 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.7907,    Adjusted R-squared:  0.7827

F-statistic: 98.83 on 18 and 471 DF,  p-value: < 2.2e-16

 

 

[참고] 전진선택법(forward selection)의 AIC는 1295.03

> fit.step.forward = step(fit1,direction='forward')

Start:  AIC=1295.03

medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + age + dis + rad +

tax + ptratio + black + lstat

 

> summary(fit.step.forward)

 

Call:

lm(formula = medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + age +

    dis + rad + tax + ptratio + black + lstat, data = boston)

 

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max

-9.5220 -2.2592 -0.4275  1.6778 15.2894

 

Coefficients:

              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   

(Intercept)  30.120918   4.338656   6.942 1.29e-11 ***

crim         -0.105648   0.025640  -4.120 4.47e-05 ***

zn            0.044104   0.011352   3.885 0.000117 ***

indus        -0.046743   0.051044  -0.916 0.360274   

chas2         0.158802   0.736742   0.216 0.829435   

nox         -11.576589   3.084187  -3.754 0.000196 ***

rm            3.543733   0.356605   9.937  < 2e-16 ***

age          -0.026082   0.010531  -2.477 0.013613 * 

dis          -1.282095   0.160452  -7.991 1.05e-14 ***

rad2          2.548109   1.175012   2.169 0.030616 * 

rad3          4.605849   1.064492   4.327 1.85e-05 ***

rad4          2.663393   0.950747   2.801 0.005299 **

rad5          3.077800   0.962725   3.197 0.001483 **

rad6          1.314892   1.157689   1.136 0.256624   

rad7          4.864208   1.241760   3.917 0.000103 ***

rad8          5.772296   1.194221   4.834 1.82e-06 ***

rad9          6.195415   1.417826   4.370 1.53e-05 ***

tax          -0.009396   0.003070  -3.061 0.002333 **

ptratio      -0.828498   0.114436  -7.240 1.85e-12 ***

black         0.007875   0.002084   3.779 0.000178 ***

lstat        -0.354606   0.041901  -8.463 3.36e-16 ***

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 3.671 on 469 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.7911,    Adjusted R-squared:  0.7821

F-statistic: 88.78 on 20 and 469 DF,  p-value: < 2.2e-16

 

 

 

 

 

3. 어떤 변수들이 제거 되었을까?

> fit.all = lm(medv~.,data=boston)

> fit.step = step(fit.all, direction = "both")

  Start:  AIC=1295.03

  medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + age + dis + rad +

    tax + ptratio + black + lstat

 

  Df Sum of Sq    RSS    AIC

  - chas     1      0.63 6321.5 1293.1

  - indus    1     11.30 6332.2 1293.9

  <none>                 6320.9 1295.0

  - age      1     82.67 6403.5 1299.4

  - tax      1    126.28 6447.1 1302.7

  - nox      1    189.88 6510.7 1307.5

  - black    1    192.42 6513.3 1307.7

  - zn       1    203.44 6524.3 1308.5

  - crim     1    228.82 6549.7 1310.5

  - rad      8    721.85 7042.7 1332.0

  - ptratio  1    706.41 7027.3 1344.9

  - dis      1    860.51 7181.4 1355.6

  - lstat    1    965.26 7286.1 1362.7

  - rm       1   1330.92 7651.8 1386.7

 

  Step:  AIC=1293.08

  medv ~ crim + zn + indus + nox + rm + age + dis + rad + tax +

    ptratio + black + lstat

 

  Df Sum of Sq    RSS    AIC

  - indus    1     11.00 6332.5 1291.9

  <none>                 6321.5 1293.1

  + chas     1      0.63 6320.9 1295.0

  - age      1     82.48 6404.0 1297.4

  - tax      1    130.45 6451.9 1301.1

  - nox      1    189.27 6510.8 1305.5

  - black    1    193.59 6515.1 1305.9

  - zn       1    203.76 6525.2 1306.6

  - crim     1    230.58 6552.1 1308.6

  - rad      8    738.26 7059.8 1331.2

  - ptratio  1    719.40 7040.9 1343.9

  - dis      1    861.64 7183.1 1353.7

  - lstat    1    965.11 7286.6 1360.7

  - rm       1   1333.37 7654.9 1384.9

 

  Step:  AIC=1291.93

  medv ~ crim + zn + nox + rm + age + dis + rad + tax + ptratio +

    black + lstat

 

  Df Sum of Sq    RSS    AIC

  <none>                 6332.5 1291.9

  + indus    1     11.00 6321.5 1293.1

  + chas     1      0.32 6332.2 1293.9

  - age      1     81.09 6413.6 1296.2

  - tax      1    192.78 6525.3 1304.6

  - black    1    196.55 6529.0 1304.9

  - zn       1    220.63 6553.1 1306.7

  - crim     1    225.50 6558.0 1307.1

  - nox      1    239.09 6571.6 1308.1

  - rad      8    791.09 7123.6 1333.6

  - ptratio  1    732.81 7065.3 1343.6

  - dis      1    857.27 7189.8 1352.1

  - lstat    1    987.73 7320.2 1361.0

  - rm       1   1380.21 7712.7 1386.5

 

> names(fit.step)
 [1] "coefficients"  "residuals"     "effects"       "rank"        
 [5] "fitted.values" "assign"        "qr"            "df.residual" 
 [9] "contrasts"     "xlevels"       "call"          "terms"       
[13] "model"         "anova" 

 

 > fit.step$anova #최종모형에서 제거된 변수를 알 수 있다.

  Step Df   Deviance Resid. Df Resid. Dev      AIC

  1         NA         NA       469   6320.865 1295.031

  2  - chas  1  0.6261633       470   6321.491 1293.079

3 - indus  1 10.9964825       471   6332.487 1291.931

->  해석: fit.step$anova라는 함수를 통해 최종 모형에서 제거된 변수를 알 수 있다. 여러 후보 모형 중에서 AIC가 가장 작은 모형을 선택하게 되는데, 여기서는 chas와 indus가 제거되었음을 일목요연하게 알 수 있다.


 

4. 목표 예측값을 알아보자

> yhat=predict(fit.step,newdata=boston,type='response') #목표값 예측 시, type='response'

> head(yhat) #예측된 값 산출

  1        2        3        4        5        6

  26.59831 24.00195 28.99396 29.60018 29.07676 26.41636

> plot(fit.step$fitted,boston$medv, xlim=c(0,50),ylim=c(0,50),xlab="Fitted",ylab="Observed")#실제값과 가까운지 평가

> abline(a=0,b=1) # or abline(0,1)

> mean((boston$medv-yhat)^2) #MSE

  [1] 12.92344

         ->   함수 predict 는 다양한 모형 적합결과로부터 예측값을 계산할 때 사용하고, 이중 type 

           옵션은 예측 형태를 입력하는 것으로, 목표값을 예측할 때 ‘response’를 사용한다.


->   목표변수가 연속형인 경우에 모형의 예측력 측도로서 MSE(mean squared error)를 주로 사용한다. 관측치(yi)와 예측치 Ŷi의 차이가 적을수록 그 모형의 예측력은 높다고 할 수 있다. 이를 시각적으로 확인하기 위해서는 이들을 가로축 및 세로축에 놓고 그린 산점도가 45도 대각선을 중심으로 모여 있으면 예측력이 좋다고 할 수 있다. 

 

출처: 데이터마이닝(장영재, 김현중, 조형준 공저)

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Posted by 마르띤
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제2장 회귀모형 - 선형회귀, 로지스틱회귀

KNOU/2 데이터마이닝 2016. 9. 14. 10:05
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목표변수가 연속형인 경우 -> 선형 회귀모델, ex) 광고비 투입 대비 매출액

목표변수가 두 개의 범주를 가진 이항형인 경우 -> 로지스틱 회귀모형, ex) 좋다1, 나쁘다0


 

2.1 선형회귀모형(linear regression model)

① 모형의 정의


Y= β0 + β1X1i + β2X2i +…..+ βpXpi + εi,   i = 1,…, n


- β0, β1, β2, …. Βp 를 회귀 모수(regression parameters) 또는 회귀 계수(regression coefficients)로서 알려지지 않는 상수이다.

-  εi는 Yi의 근사에서 오차(error)

 

② 회귀 모수의 추정

오차 εi= Y - β0 - β1X1i - β2X2i -…..- βpXpi


의 제곱합을 최소화하는 추정값을 이용한 최소제곱회귀직선(least square regression line)은 다음과 같다.



 

③ 회귀 계수의 해석

회귀계수 βj 다른 입력 변수들이 일정할 때 j번째 입력변수가 한 단위 변동할 때 대응하는 Y의 변동 양으로 해석. 즉, βj는 다른 입력변수를 보정한 후에 Y에 대한 Xj의 기여도. 회귀계수 βj가 양수이면 Xj가 증가할 때 Y도 증가하고, 반대로 βj가 음수이면, Xj가 증가할 때 Y는 감소함을 의미한다.

 


④ 입력 변수의 중요도


Tj =

Beta hatj

SE(Beta hatj)


 


t값의 절대 값이 클수록 영향력이 크다고 할 수 있다. P-값이 유의수준 (보통 0.05)보다 작을 때


귀무가설 H0 : β1 = 0

대립가설 H1 : β1 ≠ 0

 

귀무가설을 기각하여, Xj의 영향력이 있다고 말할 수 있다.

 

⑤ 모형의 적합도 – F값

모형의 상수항 β0을 제외한 모든 회귀계수가 0인지 아닌지를 검정하는 측도를 F-값이라 한다.

F-값은 회귀직선에 의해 평균적으로 설명할 수 있는 부분(MSR: mean squared regression)을 설명할 수 없는 부분(MSE: meas squared erroe)으로 나눈 값.

F =

MSR

=

SSR/p

MSE

SSE/(n-p-1)

 

F-값이 크면 p개 입력변수 중에 최소한 하나는 유의하다(회귀계수가 0이 아니다)라는 뜻이고, F-값이 작아서 p-값(보통 0.05) 보다 크면 모든 입력변수가 유의하지 않아서 회귀선이 쓸모가 없다.

 

⑤ 모형의 적합도 – 결정계수 R2

모형의 적합도(goodness-of-fit)를 결정계수(coefficient of determination) R2으로 측정할 수 있다.

결정계수 R2는 설명할 수 있는 부분의 총합을 변동의 총합으로 나눈 값으로 0과 1사의 값을 지닌다.

R2=

SSR

= 1 -

SSE

SST

SST

 

R2이 1에 가까울수록 모형이 데이터에 더 잘 적합되었다(fitted), 또는 회귀직선이 설명력이 높다라고 말할 수 있다.

 

다만, 모형에 포함된 변수의 수(p)가 증가하면 할수록 R2은 증가하므로 변수의 수가 다른 모형을 비교할 때는 수정된(adjusted) R2를 사용

Ra2=

Adjusted R2

= 1 -

n-1

n-p-1

 

Ra2은 변수의 수가 증가한다고 항상 증가하지는 않는다.

 

⑤ 모형의 적합도 – AIC

입력변수의 수가 다른 모형을 비교 평가하는 기준으로 AIC(Akaike information criterion)을 사용한다.


AIC = nlog(SSE/n) + 2p

 

SSE는 오차제곱합으로 작을수록 모형이 적합이 잘 되었다고 할 수 있다. 입력변수의 수가 증가할수록 SSE는 감소하지만, 벌점 2p를 더한 AIC는 항상 감소하지는 않는다. 여러 후보 모형 중에서 AIC가 가장 작은 모형을 선택한다.

 

⑥ 모형을 이용한 예측

주어진 데이터에 기반하여 회귀식 Ŷ을 얻었다고 하자. 임의의 객체 i*에 대해 관측한 입력변수의 값 x1i*, x2i*, …, xpi*를 그 회귀식에 대입하여 목표변수의 예측치 Ŷix를 얻을 수 있다.


 

⑦ 예측력

목표변수가 연속형인 경우에 모형의 예측력 측도로서 MSE(mean squared error)를 주로 사용. 시각적으로 관측치(yi)와 예측치 Ŷi의 차이를 확인하기 위해서는 이들을 가로축 및 세로축에 놓고 그린 산점도가 45도 대각선을 중심으로 모여 있으면 예측력이 좋다고 할 수 있다.


 

2.2 로지스틱 회귀모형(logistic regression model)

목표변수가 두 개의 범주를 가진 이항형인 경우, 가령 목표변수의 두 범주 값 ‘신용이 좋다’는 1, ‘신용이 나쁘다’는 0인 경우.

① 모형의 정의

총 n의 객체(subject) 중에 i번째 객체에 대한 두 개의 범주(성공 또는 실패)를 가지는 이항형 목표변수 값을 Yi, 입력변수들의 값을 X1i, X2i, …, Xpi라고 하자. 이항형 목표변수는 이항분포(binomial distribution)를 따른다. 두 개의 범주값을 1과 0으로 표시하고, 목표변수가 ‘성공’ 1을 가질 확률을 πi = pr( Yi = 1)이라고 하자. 로지스틱 회귀모형을 다음과 같이 나타낸다.

 

πi =

exp(0 + β1X1i + β2X2i +…..+ βpXpi)

, i = 1,..,n

1 + exp(0 + β1X1i + β2X2i +…..+ βpXpi)

 

단, X1i, X2i, …, Xpi 입력변수의 값이고, 이항형 목표변수는 이항분포(binomial distribution)을 따른다고 가정. 위의 식에서 목표변수가 범주형에서 연속형 변수로 바뀌지만, πi가 0~1사이의 값만을 가짐. πi가 1에 가까워질수록 입력변수의 값은 ∞로 증가, 0에 가까워질수록 0으로 수렴. 따라서 로지스틱 회귀모형은 다음과 같이 변환하여 표시할 수 있음.

log(

πi

) =

exp(0 + β1X1i + β2X2i +…..+ βpXpi)

, i = 1,..,n

1- πi

 

- β0, β1, β2, …. Βp 를 회귀 모수(regression parameters) 또는 회귀 계수(regression coefficients)로서 알려지지 않는 상수이다.


성공확률 πi와 입력변수 관계는 로지스틱 반응 함수로 표현할 수 있다. 입력변수가 증가함에 따라 초기에는 천천히 증가하다가 증가속도가 점차 빨라지고 확률 1/2 이후에는 다시 증가속도가 줄어드는 성장곡선 (growth curve) 형태이다(좌측 도형). 성공 확률과 실패 확률의 비를 오즈비(odds ratio)라고 하고 오즈비에 로그(log)를 취한 것을 로짓변화(logit transformation)이라고 부른다. 입력변수와 로짓의 관계는 직선이고, πi가 0~1의 값만 취하는 반면, 로짓변화는 -4, 6 등 다양한 값을 가진다.

 

② 회귀 모수의 추정

회귀모수는 최대우도추정법(MLE: maximum likelihood estimation method)에 이해 추정. 데이터의 확률함수를 모수β의 함수로 취급한 것을 우도함수(likelihood function) L(β)라고 하고, 이 우도함수가 최대가 될 때 모수의 추정치를 최대우도추정치(MLE)라고 한다. 적합된 로지스틱 회귀식(logistic regression line)은 다음과 같다.



 

③ 회귀계수의 해석

회귀계수 βj는 다른 입력변수들을 보정한 후 성공(Y=1)의 로그오즈(log odds = log(π/(1-π))에 미치는 Xj의 효과. 다른 입력 변수가 일정할 때, exp(βj)는 j번째 입력변수 Xj가 한 단위 변동할 때 오즈에 미치는 기여도. 회귀계수 βj가 양수이면 Xj가 증가할 때 성공확률 π와 로짓 log(π/(1-π)는 증가하고, 반대로 βj가 음수이면 Xj가 증가할 때 이들은 감소한다.

 

④ 변수의 중요도

선형회귀모형에서와 유사하게 로지스틱 회귀모형에서는 변수의 중요도는 z값으로 측정할 수 있다.



⑤ 모형의 적합도

모형의 적합도의 측도로서 이탈도(deviance)를 사용할 수 있다. 이탈도란 어떤 모형 M의 최대로그 우도(maximized log-likelihood) log(LM)에서 포화모형(saturated model) S의 최대로그우도 log(LS)를 뺀 것에 -2를 곱한 값이다.


이탈도 = -2[log(LM)-log(LS)]

 

포화모형은 각 관측에 모수 하나씩을 사용하여 완벽한 모형을 의미하며, 이탈도가 클 경우에는 그 모형은 적합하지 않다고 한다. 데이터를 모형에 적합하여 얻은 이탈도에 대응하는 p-값(보통 > 0.05)이 클 때 우리는 그 모형 M이 의미있다고 한다. 입력변수의 수가 다른 모형을 비교 평가하는 기준으로 AIC(Akaike Information Criterion)를 종종 사용한다. LM은 모형 M에 대한 우도함수의 최대값, p는 모수의 수이다.

AIC = -2log(LM) + 2P

 

AIC는 입력변수 또는 모수의 수가 증가한다고 항상 작아지지는 않으므로, 여러 후보 모형들 중에서 가장 작은 AIC를 가지는 모형을 선택한다.

 

⑥ 모형을 이용한 예측

임의의 객체 i*에 대해 관측한 입력변수의 값 x1i*,x2i*,…,xpi*를 그 로지스틱 회귀식에 대입하여 성공확률 πi* = Pr(Yi* =1)의 예측치를 얻을 수 있다.


예측치가 크면 1, 작으면 0으로 분류한다. 크고 작음을 분류하는 임계치(π0)는 보통 0.5~0.7을 사용하지만, 적영 분야에 따라 달리 결정할 수 있다. 기존 고객 데이터로 회귀계수를 추정하여 로지스틱 회귀식을 얻은 후, 수집한 새로운 고객의 입력변수값을 로지스틱 회귀식에 대입하여 새로운 고객의 성공확률을 예측한다.

 

⑦ 예측력 – 정오분류표

목표변수가 이항형(신용도가 좋으면 1, 나쁘면 0)인 경우에, 정오분류표를 만들어 예측력을 평가


 

예측범주 Ŷ

합계

1

0

실제범주 Y

1

n11

n10

n1+

0

n01

n00

n0+

합계

n+1

n+0

n

 

- 민감도(Sensitivity): Pr(Ŷ = 1 | Y =1) = n11/n1+

- 특이도(Specificity): Pr(Ŷ = 0 | Y =0) = n00/n0+

- 예측정확도(Prediction Accuracy): Pr(Ŷ =1 | Y =1) + Pr(Ŷ = 0 | Y =0) = (n11+n00)/n

- 오분류율(Misclassification Rate): Pr(Ŷ≠1 | Y =1) + Pr(Ŷ≠0 | Y =0) = (n10+n01)/n

 

민감도: 실제 양성(Y=1)일 때, 양성으로 예측할 확률(Ŷ = 1)

특이도: 실제 음성(Y=0)일 때 음성으로 예측할 확률(Ŷ = 0)

예측정확도: 실제 양성인데 양성으로, 음성일 때 음성으로 제대로 예측할 확률로 민감도와 특이도의 가중평균

오분류율: 양성인데 음성으로, 음성일 때 양성으로 잘못 예측할 확률

 


⑦ 예측력 – ROC 곡선

여러 가능한 임계치에 대해 ‘1-특이도(Specificity)’를 가로축에, 민감도를 세로축에 놓고 그린 그래프를 ROC(Receiver Operating Characteristic)곡선이라고 한다. 민감도와 특이도가 높을수록 예측력이 좋다고 할 수 있기 때문에 ROC 곡선이 좌상단에 가까울수록 ROC 곡선 아래 면적인 AUC(Area Under the ROC curve)가 커지고, AUC가 커질수록 예측력이 좋다고 할 수 있다.

2.3 범주형 입력변수 처리

입력변수가 범주형일 경우에는 가변수(dummy variable)로 변환하여 처리한다. 예를 들어, 어떤 입력변수 X가 3개의 범주(a,b,c)를 가진다고 하자. 그러면 두 개의 가변수를 다음과 같이 새롭게 정의한다.

 

X’= 1, X=a  or  0, X≠a

X”= 1, X=b  or  0, X≠b

 

X가 범주 a를 가지는 경우, X’=1, X”=0, X가 범주 b를 가지는 경우 X’=0, X”=1, X가 범주 c를 가지는 경우 X’=0, X”=0. 따라서 X가 범주를 L개 가지는 경우 L-1개의 가변수를 새롭게 생성한다.

 


2.4 모형 구축을 위한 변수 선택

① 후진소거법(backward elimination): 모든 변수를 포함시킨 모형부터 시작하여 가장 유의하지 않은 변수를 하나씩 제거

② 전진선택법(forward selection): 상수항만 가진 모형부터 시작하여 가장 유의한 변수를 하나씩 포함시켜 포함되지 않고 남은 변수가 모두 유의하지 않을 때까지 추가

③ 단계적 선택법(stepwise selection): 전진선택법처럼 상수항부터 시작하여 가장 유의한 변수를 하나씩 모형에 포함시킨다. 하지만 어떤 변수가 포함된 이후에 기존에 포함된 변수 중에 유의하지 않은 변수를 제거. 즉 전진선택법 + 후진소거법

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